Zadanie 1

Treść

Czy istnieje funkcja $$f : \mathbb{R} \to [0, \infty) $$ taka, że w każdym punkcie $$ x \in \mathbb{Q} $$ funkcja ma ścisłe minimum?

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski + ktoś z arkusza

Istnieje, można na przykład wybrać funkcję \[ F(x) = \begin{cases} 1 &\text{ dla } x \notin \mathbb{Q} \\ 1 - \frac 1 q &\text{ dla } x = \frac p q ,\, p, q \in \mathbb{Z} ,\, p \perp q ,\, q > 0 \\ \end{cases} \] lub innymi słowy funkcję $$ 1 - f(x) $$, gdzie $$ f $$ to funkcja Riemanna

Komentarz

Ktoś w arkuszu napisał:

Nie istnieje. W otoczeniu liczby wymiernej zawsze jest jakaś liczba wymierna, 
to daje nam sprzeczność, bo mamy wtedy więcej niż jedno minimum na otoczeniu.

Moim zdaniem jeśli funkcja ma ścisłe minimum lokalne w $$ x $$ to znaczy, że istnieje takie otoczenie $$ (x - \epsilon, x + \epsilon) $$, na którym funkcja najmniejszą wartość przyjmuje tylko w $$ x $$. Ten argument wcale temu nie przeczy, bo biorąc dowolne dwie liczby wymierne (także takie jak w podanym w arkuszu przykładzie) można im dobrać rozłączne otoczenia, na których potencjalnie będą minimami.