Zadanie 5

Treść

Znaleźć wszystkie pary liczb rzeczywistych $$ a $$ i $$ b $$, dla których funkcja \[ f(x) = \begin{cases} ax + b\cos x &\text{ dla }x \geq 0 \\ \frac{1 - \cos x}{x \sin x} &\text{ dla }x \in (-\pi, 0) \\ \end{cases} \] jest różniczkowalna na przedziale $$ (-\pi, \infty) $$.

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski

Rożniczkowalność w punktach różnych od $$ 0 $$ jest oczywista (bo na przedziałach ... funkcje to iloczyny / ilorazy / złożenia funkcji różniczkowalnych bla bla bla...). Zbadamy więc różniczkowalność w zerze z definicji pochodnej, tzn. licząc granicę \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - b}{h} \] Policzymy ją licząc granice jednostronne: \[ \begin{gathered} \lim_{h \to 0+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = (ax + b\cos x)'(0) = a - b\sin 0 = a \\ \lim_{h \to 0-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0-}\frac{\frac{1 - \cos h}{h \sin h} - b}{h} = \lim_{h \to 0-} \frac{1 - \cos h - bh\sin h}{h^2\sin h} \, (\ast) \end{gathered} \] Skorzystamy z rozwinięcia Taylora w zerze: \[ \begin{gathered} \frac{1 - \cos h - bh\sin h}{h^2\sin h} = \\ \frac{1 - (1 - \frac{h^2}{2} + o(h^3)) - bh(h + o(h^2))}{h^2(h + o(h^2))} = \\ \frac{h^2(\frac 1 2 - b) + o(h^3)}{h^3 + o(h^3)} \end{gathered} \] Zatem jeśli $$ b = 1/2 $$, to granica $$ (\ast) $$ wynosi $$ \frac{0}{1 + 0} = 0 $$, w przeciwnym przypadku jest rozbieżna i funkcja z zadania nie może być różniczkowalna. Aby granice jednostronne były sobie równe w przypadku $$ b = 1/2 $$ musi zachodzić $$ a = 0 $$, zatem funkcja z zadania będzie różniczkowalna w zerze wtedy i tylko wtedy, gdy $$ a = 0 $$ oraz $$ b = 1/2 $$.