Zadanie 4

Treść

Wyznaczyć kres dolny i kres górny funkcji \[ \gdef\ulamek{\frac{x}{x+1}} f(x) = x \big(1 - \sqrt{\ulamek} \big) \] na przedziale $$(0, +\infty)$$.

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski

Policzmy $$ f'(x) $$. \[ \begin{aligned} f'(x) &= 1 - \sqrt{\ulamek} + x \Big( -\frac 1 2 \big(\ulamek\big)^{-1/2}\frac{x - (x + 1)}{(x+1)^2}\Big) \\ &= 1 - \sqrt{\ulamek} + \frac 1 2 \big(\ulamek\big)^{-1/2}\frac{x}{(x+1)^2} \end{aligned} \] $$ 1 - \sqrt{\ulamek} > 0 $$ oraz $$\big(\ulamek\big)^{-1/2}\frac{x}{(x+1)^2} > 0 $$ dla wszystkich $$ x $$ z dziedziny, więc $$ f'(x) > 0 $$, co oznacza, że $$ f $$ jest rosnąca. Kresy to zatem granice funkcji na krańcach dziedziny. \[ \begin{gathered} \gdef{\limes}{\lim_{x \to \infty}} \lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0+} x \Big( 1 - \sqrt{\ulamek} \Big) = 0 \cdot (1 - 0) = 0 \\ \limes f(x) = \limes x \Big( 1 - \sqrt{\ulamek} \Big) = \limes \frac{\big( 1 - \sqrt{\ulamek} \big)}{1/x} \\ \underset{H}= \limes -x^2 \Big( -\frac 1 2 \big(\ulamek\big)^{-1/2}\frac{-1}{(x+1)^2} \Big) = \limes \frac 1 2 \big( \ulamek \big)^{3/2} = \frac 1 2\\ \end{gathered} \]

Zatem kres dolny jest równy $$ 0 $$ a kres górny $$ \frac 1 2 $$.