Zadanie 28

Treść

Wyznacz przedział zbieżności szeregu $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}x^n $$.

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski

Niech $$ a_n = \frac{n!}{n^n} $$. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \big(\frac{n}{n+1} \big)^n = e^{-1} \] więc z jakiegoś twierdzenia z pierwszego semestru $$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = e^{-1} $$
Zatem szereg jest zbieżny na $$ (-e, e) $$ ze wzoru Cauchy'ego-Hadamarda. Zbadajmy zbieżność w $$ x = e $$. Niech $$ b_n $$ będzie n-tym wyrazem szeregu. Wtedy \[ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \big(\frac{n}{n+1} \big)^n e \geq \big(\frac{n}{n+1} \big)^n \big(\frac{n+1}{n} \big)^n = 1 \] więc z kryterium d'Alemberta szereg jest rozbieżny na prawym krańcu przedziału.
Co więcej, można z tego wywnioskować, że wyrazy $$ |b_n| $$ są (przynajmniej dla dużych $$ n $$) rosnące, zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Dlatego w $$ -e $$ szereg również jest rozbieżny.

Przedział zbieżności to zatem $$ (-e, e) $$.