Zadanie 18

Treść

Niech funkcja $$ f $$ będzie określona szeregiem potęgowym \[ \gdef\szer{\sum_{n=0}^{\infty}} f(x) = \szer \frac{b_n}{n+1}x^{n+1} \text{, gdzie } b_n = \sin \frac{n\pi}{2} + \cos \frac{n\pi}{2} \]

  • Wyznaczyć wszystkie punkty zbieżności tego szeregu
  • Wyznaczyć funkcję $$ f $$ wzorem jawnym przez funkcje elementarne
  • Znaleźć funkcję $$ F $$, taką że $$ F'(x) = f(x) $$.
  • Znając funkcję $$ F $$ obliczyć sumę szeregu $$ \szer \frac{b_n}{(n + 1)(n + 2)} $$.

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski

Punkty zbieżności

Ze wzoru Cauchy'ego-Hadamarda $$ \limsup \sqrt[n]{|\frac{b_n}{n+1}|} = \limsup \sqrt[n]{\frac 1 {n + 1}} = 1 $$, więc szereg jest zbieżny na $$(-1, 1)$$. Dla $$ x = 1 $$ sumowane wyrazy to $$ \frac 1 1 + \frac 1 2 - \frac 1 3 - \frac 1 4 + \frac 1 5 \ldots $$ i jako, że wyrazy szeregu zbiegają do zera to można go przesumować parami: \[ \szer \frac{b_n}{n + 1} = \szer (-1)^n (\frac 1 {2n + 1} + \frac 1 {2n + 2}) \] a ten szereg jest zbieżny z kryterium Leibniza. Analogiczny wniosek dla $$ x = -1 $$, tam po prostu trochę inaczej zmienia się ciąg $$ \pm 1 $$. Czyli szereg zbieżny na $$ [-1, 1] $$.

Wzór jawny

Badam wzór jawny dla $$ x \in (-1, 1) $$, bo tam na pewno $$ f $$ jest różniczkowalna. Liczę pochodną różniczkując wyraz po wyrazie: \[ f'(x) = \szer b_n x^n = \szer (-1)^n(1 + x)x^{2n} = \frac{1 + x}{1 + x^2} \] No i teraz całkując: \[ \int \frac{1 + x}{1 + x^2} \, dx = \arctg x + \frac 1 2 \ln(1 + x^2) + C \\ \] Żeby funkcja pierwotna była równa $$ 0 $$ dla $$ x = 0 $$ weźmy $$ C = 0 $$. Podsumowując \[ f(x) = \arctg x + \frac 1 2 \ln(1 + x^2) \]

Funkcja pierwotna $$ f(x) $$

\[ \begin{gathered} \int \arctg x \, dx = x \arctg x - \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = x \arctg x - \frac 1 2 \ln(1 + x^2) + C \\ \begin{aligned} \int \frac 1 2 \ln(1 + x^2) \, dx &= \frac x 2 \ln(1 + x^2) - \int \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx \\ &= \frac x 2 \ln(1 + x^2) - x + \arctg x + C \end{aligned} \end{gathered} \] Więc można ustalić $$ F(x) = (1 + x)\arctg x + \frac{x - 1}{2}\ln(1 + x^2) - x $$