Zadanie 11

Treść

Zbadać zbieżność jednostajną na prostej ciągu $$ f_n(x) = x(1 + x^2)^{-n} $$.

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski

Wyrazy ciągu są funkcjami nieparzystymi, wystarczy udowodnić zbieżność jednostajną na $$ [0, \infty) $$. Ciąg jest zbieżny punktowo do funkcji tożsamościowej równej 0. Liczymy pochodną w celu znalezienia argumentu maksymalizującego $$f_n$$. \[ \begin{gathered} f_n'(x) = (1+x^2)^{-n} - 2nx^2(1+x^2)^{-n-1} = (1+x^2)^{-n-1}(1 + x^2(1 - 2n)) \\ f_n'(x) = 0 \iff 1 + x^2(1 - 2n) = 0 \iff x = \frac 1 {\sqrt{2n - 1}} \end{gathered} \] Faktycznie w $$ \frac{1}{\sqrt{2n - 1}} $$ funkcja osiąga największą wartość, bo dla mniejszych wartości pochodna jest dodatnia, a dla większych ujemna. No to liczymy granicę: \[ \gdef\limes{\lim_{n \to \infty}} \limes \frac{1}{\sqrt{2n - 1}}(1 + \frac{1}{2n - 1})^{-n} = 0 \cdot e^{-1/2} = 0 \] Zatem ciąg jest jednostajnie zbieżny.