Zadanie 1

Treść

Niech $$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $$ będzie ciągła i $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $$. Wykazać, że istnieje $$ x_0 > 0 $$ takie, że dla każdego $$ x > x_0 $$ zachodzi $$ f(x) > f(x_0) $$.

Rozwiązanie

Autor: Tymoteusz Wiśniewski

Niech $$ y = f(1) $$. Niech $$ A = \{ x \in \mathbb{R} : f(x) = y \} $$. $$ A $$ jest ograniczony z góry, bo w przeciwnym przypadku nie mogłaby istnieć granica $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty $$. Skoro tak, to z pewnika Dedekinda $$ A $$ posiada kres górny, oznaczmy go przez $$ s $$. Jeśli $$ s \notin A $$, to znaczy $$ f(s) \neq y $$ to wtedy istniałby ciąg $$ a_n $$ o wyrazach z $$ A $$, który spełniałby $$ \lim_{n \to \infty} a_n = s $$ oraz $$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = y $$, co jest sprzeczne z założeniem o ciągłości, więc $$ s \in A $$.

Wiemy zatem, że dla każdego $$ x > s $$ zachodzi $$ f(x) \neq f(s) $$. Nie może zachodzić $$ \forall_{x > s} \, f(x) < f(s) $$, bo przeczyłoby to założeniu o granicy z treści. Zatem istnieje $$ x > s $$ taki, że $$ f(x) > f(s) $$. Ale z własności Darboux funkcji ciągłej $$ f $$ wiemy, że w takim wypadku nie może istnieć $$ \tilde{x} > x $$, dla którego zachodziłoby $$ f(\tilde{x}) < f(s) $$, bo wtedy funkcja dla pewnego argumentu z przedziału o końcach $$ x, \tilde{x}$$ przyjmowałaby wartość $$ f(s) $$, która leży w $$ [f(\tilde{x}),\, f(x)]$$. To w sumie kończy zadanie, bo takim wypadku $$ \forall_{x > s} f(x) > f(s) $$ (szukanym $$ x_0 $$ jest $$ s $$).